固有値解析で安定と判定された機体が、JSBSimシミュレーションでは不安定になる——こうした乖離に遭遇したことはありませんか？この原因の多くは、線形理論の適用限界を超えているためです。

本記事では、Small Perturbation Theory（小擾乱理論）の前提条件と、大角度・大振幅での非線形空力の影響を解説します。

この記事で学べること#

  • Small Perturbation Theory（小擾乱理論）とは
  • 線形化の前提条件（小角度擾乱、平衡点近傍）
  • 線形理論が破綻する例（Spiral Mode、Phugoid Mode）
  • 非線形空力（失速、飽和、ヒステリシス）

対象読者#

  • 固有値解析とシミュレーション結果の乖離に遭遇した方
  • 不安定モード（Phugoid、Spiral、Dutch Roll）を実装する方
  • 線形理論の限界を理解したい上級者

Small Perturbation Theory（小擾乱理論）とは#

Small Perturbation Theory（小擾乱理論）は、航空機の運動を平衡点近傍の小さな擾乱として線形化する理論です。

基本的な考え方#

  1. 平衡点（Trim Point）を設定
    • 定常水平飛行、定常旋回等
  2. 小さな擾乱を仮定
    • 姿勢角: Δφ、Δθ、Δψ
    • 速度: Δu、Δv、Δw
  3. 線形化
    • 運動方程式を1次のテイラー展開
    • 高次項を無視

線形化の利点#

  • 固有値解析が可能（安定性判定、固有モード抽出）
  • 制御系設計が容易（LQR、極配置等）
  • 解析的な理解が得られる

線形化の前提条件#

Small Perturbation Theoryが成立するための前提条件：

1. 小角度擾乱（< 10-15°）#

前提:

Δφ, Δθ, Δψ < 10-15°

理由:

  • sin(Δθ) ≈ Δθ
  • cos(Δθ) ≈ 1
  • 小角度近似が成立

破綻例:

  • Spiral Mode: バンク角が36°に達する（後述）
  • ループ機動: ピッチ角が90°に達する

2. 平衡点近傍#

前提:

  • トリム状態（定常飛行）からの小さな変化
  • 操舵入力が小さい

破綻例:

  • 急激な操舵（フルエルロン、フルラダー）
  • 急激な外乱（突風）

3. 空力の線形近似#

前提:

  • 空力係数が迎角・横滑り角に対して線形
  • CL = CL0 + CLα * α

破綻例:

  • 失速（Stall）: 迎角が失速角を超える
  • 飽和（Saturation）: 空力係数が頭打ち

線形理論が破綻する具体例#

例1: Spiral Mode - バンク角36°飽和#

線形固有値解析の予測:

  • Spiral Mode: 時定数τ = 20秒、発散
  • バンク角は指数関数的に増加

JSBSimシミュレーション結果:

  • バンク角が36°で飽和（増加が止まる）
  • 線形理論と異なる挙動

原因:

  1. バンク角36°は小角度ではない（小角度近似が破綻）
  2. 横滑り角の増加により、方向安定性（Cnβ）が効いてくる
  3. 空力飽和（揚力係数CLの頭打ち）

理論的説明[@stevens_lewis_2003]:

  • バンク角φが大きくなると、cos(φ)が無視できなくなる
  • 横滑り角βの2次項が無視できなくなる
  • 線形理論では捕捉できない非線形効果

例2: Phugoid Mode - 高度損失による動圧変化#

線形固有値解析の予測:

  • Phugoid Mode: 周期T = 50秒、減衰振動
  • 振幅は一定の減衰率で減少

JSBSimシミュレーション結果:

  • 高度が大きく変化（±100m）
  • 動圧が変化（空力係数が変化）
  • 減衰率が線形予測と異なる

原因:

  1. 高度変化による空気密度変化
  2. 動圧変化: q = 0.5 * ρ * V²
  3. 空力係数の動圧依存性

線形理論の限界:

  • 平衡点（定常水平飛行）から大きく外れる
  • 動圧変化を考慮していない

非線形空力の影響#

大角度・大振幅での非線形空力の特徴：

1. 失速（Stall）#

現象:

  • 迎角αが失速角（約15°）を超えると揚力係数CLが急減
  • 線形関係 CL = CL0 + CLα * α が破綻

影響:

  • 線形固有値解析では予測不可能
  • シミュレーションで失速を再現するには、非線形CLαカーブが必要

2. 飽和（Saturation）#

現象:

  • 迎角・横滑り角が大きくなると、空力係数が頭打ち
  • CL(α) ≈ const（一定値）

影響:

  • Spiral Modeのバンク角飽和
  • 線形理論の発散予測が外れる

3. ヒステリシス#

現象:

  • 迎角増加時と減少時で揚力係数が異なる
  • 動的失速（Dynamic Stall）

影響:

  • 線形理論では全く考慮されていない
  • 実機でのみ観測される現象

線形固有値解析の適用範囲#

線形固有値解析が有効な範囲：

条件 適用可否
姿勢角変化 < 10° ✅ 有効
定常飛行近傍 ✅ 有効
迎角 < 失速角 ✅ 有効
小さな操舵入力 ✅ 有効
姿勢角変化 > 15° ❌ 無効（非線形効果）
失速領域 ❌ 無効（非線形CLα）
大きな操舵入力 ❌ 無効（飽和）

推奨アプローチ:

  1. 線形固有値解析で初期設計
  2. JSBSimシミュレーションで非線形検証
  3. 乖離が大きい場合は、非線形空力を考慮

非線形シミュレーションの重要性#

線形理論の限界を補うために、非線形シミュレーション（JSBSim）が必須です。

JSBSimの非線形空力サポート#

JSBSimは、以下の非線形空力を扱えます：

  1. 非線形CLαカーブ（<table>タグ）
  2. 失速モデル（迎角依存の揚力減少）
  3. 動的効果（ピッチレート依存のCmq等）

設計フロー#

1. 線形固有値解析（初期設計）
   ↓
2. JSBSimシミュレーション（非線形検証）
   ↓
3. 乖離があれば原因分析
   ↓
4. 非線形空力の考慮
   ↓
5. 再設計・再検証

まとめ#

  1. Small Perturbation Theoryは平衡点近傍の小擾乱を仮定
  2. 前提条件: 小角度（< 10-15°）、平衡点近傍、空力線形近似
  3. 破綻例: Spiral Mode（バンク角36°飽和）、Phugoid Mode（動圧変化）
  4. 非線形空力: 失速、飽和、ヒステリシス
  5. 推奨: 線形固有値解析 + JSBSim非線形シミュレーション

次のステップ:

参照資料#

本記事の執筆にあたり、以下の資料を参照しました [@stevens_lewis_2003; @jsbsim_refman_2024]。

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